连分数

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因为最近发现连分数有很多有意思的结论，并且应用也挺多的，所以整理了这篇文章。

介绍

下面主要是关于连分数的一些定义的介绍

定义1

一个有理数可以化成如下形式：

该形式即为连分数的表达形式，通常简记为 或 ，其中 ， ，且

无限不循环小数，例如 等也可以化成连分数形式

定义2-收敛分数

设有理数 ，则其收敛分数为

通俗地讲，就是把连分数从某一项开始，后面的扔掉，得到 的一个近似值

一般地我们记

定义3

我们定义余项为 一般地 即为 本身

相关定理

定理1

任何一个有理数与其连分数形式是一一对应的

证明

我们记 则对于任意一个有理数 ，且 ，有 由于 严格单调递减，所以必定存在 使得

所以有

上述推导说明有理数和其连分数形式是一一对应的

定理2

证明

我们使用数学归纳法进行证明。

一方面，当 时，显然成立

另一方面，假设当 时也成立，即对于 ，有

我们用 代替 ，有 故 所以，当 时也成立

定理3

或者我们可以写成下面形式 由于 单调递增，根据上述形式我们知道连分数是以左右跳跃的一种形式不断逼近

证明

定理4

规定

设 ，其中

则 严格单调递减，且

证明

由连分数的定义， 根据 定理3 ， ，

故

又根据 定理一 ， ，有

又因为

于是

由于 ，所以

因此

因为 ，

所以

所以， 严格单调递增，即 严格单调递减

又 ，故

于是，

定理5

由 定理三 当 时， ，其中

证明

我们先证明一个引理：

当 时，对于正整数 ，总

也可以化成矩阵形式：

由于

所以， 𝟚𝟚，亦即该映射为双射

引理得证

  • 当 时，则 ，所以

  • 当 时，则 与假设矛盾，排除

  • 当 均不为 0 时，

因为

所以 异号

由 式可得，

因此， 与 也异号

所以， 与 同号

于是

综上所述，

当 时，

Legendre’s theorem

若 ，且 ，则

证明

选择一个 ，满足

因为 由三角不等式可得：

又由 定理5 可知，

所以

而

于是， ，即

又因为 ，所以有

代数数地一些结论

结论1

我们考虑对代数数 ​ 进行展开

下面证明对 的余项都可以表示成

证明 （自己手搓证明的，不一定正确）

下使用归纳法进行证明​

一方面 满足条件

另一方面

则 下只需证明 即只需证明 对于上述关系我们期望通过归纳法得到，故我们修正归纳法的递推条件为证明

一方面 ，此时

另一方面方面若

根据上面论证过程我们知道证明 与 是等价的，故下面我们探讨证明

设 ，即 此时原命题转化为

结论2

记 的第 近似分数为 ，，则 证明

由定理2 即 上述两式消去 ，有 由 定理3， 即

CFRAC

根据 2.2 结论2，我们可以得到 一个思路是我们通过找到多组 使得 这样我们有 记 ，即我们找到了 此时我们很可能得到 或者 为 的一个非平凡因子

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